科目名字 高等代数 编号 809
考试专业 数学
1、考试性质
《高等代数》课程是数学学科各专业硕士研究生入学考试必考科目之一，是由教育部授权各招生院校自行命题的选拔性考试。《高等代数》考试的目的是考察考生是不是拥有进行本学科各专业硕士研究生学习所需要的水平。
2、考核目的
高等代数主要内容包含多项式、行列式和线性方程组、矩阵及其标准形、特点值和特点向量、线性变换和欧式空间。需要考生比较系统地理解高等代数的基本定义和基本理论，学会高等代数的基本思想和办法，有较强的运算能力和综合剖析解决问题能力。
3、考试形式
1. 考试时间：考试时间为180分钟。
2. 试题满分：本试题满分为150分。
3. 考试形式：闭卷、笔试。
4. 题型：计算题、证明题。
4、考试内容
1.一元多项式
知道：数域的定义与性质、一元多项式环的定义、P[x]中n次多项式在数域P中的根不可能多于n个、多项式的因式分解.
理解：因式分解及唯一性定理、重因式的定义、余数定理、根与一次因式的关系、复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理.
学会：多项式的定义、多项式的运算及性质、整除的定义与性质、带余除法定理及证明、最大公因式的定义与求法、多项式互素的定义与性质、多项式互素的定义与性质、辨别多项式f有无重因式的办法、本原多项式的定义及性 整系数多项式有理根的理论与办法、 Eisenstein辨别法.
2.行列式
知道：行列式定义的引出及应用、排列、排列的逆序数、偶排列与奇排列的定义与性质排列、排列的逆序数、偶排列与奇排列的定义与性质、拉普拉斯定理.
理解：对角形行列式的性质、子式和代数余子式、行列式的乘法定理.
学会：n级行列式的概念、行列式的性质、简化行列式的计算、行列式按一行展开定理、Cramer法则及应用.
3. 线性方程组
知道：线性方程组初等变换的定义及性质.
理解：线性组合和线性表出与两个向量组等价的定义、矩阵秩的定义、矩阵k级子式的定义及矩阵秩为r的充分必要条件、向量组线性有关性与齐次线性方程组解的关系.
学会：借助初等变换解线性方程组的办法、矩阵的初等变换、数域P上的n维向量的定义及运算规则、向量组线性有关、线性无关的定义及基本性质、求向量组的很大线性无关组与秩、计算矩阵秩的办法、线性方程组有解辨别定理、齐次线性方程组解的性质及基础解系的定义、齐次线性方程组基础解系的办法、非齐次线性方程组解的结构定理.
4. 矩阵
知道：矩阵乘积的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系、可逆矩阵与矩阵乘积的逆与秩的关系、分块矩阵及分块矩阵的运算规律及应用.
理解：矩阵A可逆及逆矩阵的定义、初等矩阵的定义与性质、矩阵等价的定义、任一矩阵都与其标准形等价.
学会：矩阵的加法、乘法、数目乘法及矩阵的转置概念及性质、随着矩阵与逆矩阵的关系、初等变换与初等矩阵的关系及矩阵A与B等价的充要条件、断定可逆性和求逆矩阵的办法.
5. 二次型
知道：二次型、二次型矩阵的定义及二次型的矩阵表示、复二次型、实二次型的规范形及规范形的唯一性.
理解：矩阵合同的定义及性质、二次型的规范形定义、任一对称矩阵都合同于一对角矩阵.
学会：用非退化线性替换化二次型为标准形的办法、正定二次型及正定矩阵的定义、二次型为正定的充分必要条件及正定矩阵的性质.
6. 线性空间
知道：集合，映射的定义、线性空间的概念与简单性质、子空间的定义、直和的定义.
理解：线性空间维数、基与坐标的定义、子空间交与和的定义、维数公式、数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件.
学会：过渡矩阵的定义及坐标变换公式、线性空间V的非空子集W成为子空间的条件、生成的子空间定义及性质、学会V1+V2是直和的充分必要条件、同构定义及性质.
7. 线性变换
知道： 线性变换的简单性质;线性变换的乘法、加法、数乘、逆变换的定义与性质、特点子空间定义、Hamilton-Caylay定理.
理解：相似矩阵的定义与性质、线性变换的值域与核的定义及主要性质、不变子空间的定义及主要性质.
学会：线性变换的定义、恒等变换、数乘变换、线性变换在某基下的矩阵的定义、在取定一组基后，线性变换与n×n矩阵1—1对应、用线性变换矩阵计算向量的象的坐标的公式、线性变换在两组基下的矩阵之间的关系、特点值与特点向量的定义与求特点值与特点向量的办法、n维线性空间的一个线性变换在某基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及辨别方法、矩阵相似于一个对角矩阵的条件.
8.欧几里得空间
知道：欧氏空间同构的定义及条件.
理解：欧几里得空间的概念及基本性质、向量长度的定义、单位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夹角的定义.
学会：正交向量及性质、度量矩阵的定义;标准正交基概念、熟练学会施密特正交化过程与正交对角化实对称矩阵.
5、参考书目
北京大学编《高等代数》，高等教育出版社，1978年3月第1版，2003年7月第3版，2003年9月第2次印刷.
